日前，北京理工大学物理学院张向东教授课题组在拓扑电路和双曲晶格拓扑泵浦研究领域取得突破性进展。研究团队首次理论提出并证明了双曲晶格中拓扑泵浦的新机制，设计并制备时变拓扑电路，在实验上观测到兼具高维量子霍尔效应特性与周期边界条件（PBC）依赖的双曲拓扑泵浦现象。相关成果发表于Science Bulletin（Sci. Bull. 70 (2025) 3146–3153），研究工作获国家重点研发计划和国家自然科学基金资助。物理学院袁昊博士（2020级）和张蔚暄教授为论文共同第一作者，张向东教授和张蔚暄教授为通讯作者。

双曲晶格作为恒定负曲率空间中的规则晶格平铺结构，为探索非欧几里得体系中的拓扑物态提供了独特平台。其边界主导的实空间构型与高维动量空间特性已催生出了许多双曲拓扑相的理论和实验研究。然而，现有研究大部分都局限于静态双曲系统，时间调制双曲晶格中的拓扑物理仍属未探索领域。另一方面，拓扑泵浦作为绝热参数调制诱导的拓扑输运现象，已在量子霍尔物理、非线性孤子输运及非阿贝尔拓扑操控等领域取得系列突破。然而，现有研究均局限于欧几里得晶格体系，双曲晶格中的拓扑泵浦仍属理论空白。需要强调的是，双曲晶格动量空间（高维）与实空间（二维）的维度失配从根本上区别于欧几里得体系，预示着二维双曲泵浦可模拟高维量子霍尔物理并有望揭示出欧氏空间不存在的泵浦输运现象。因此，如何在双曲晶格中实现并调控拓扑泵浦，进而观测其超越欧氏空间的独特输运特性，是当前拓扑物态研究的一项重大挑战。

研究团队将四维非对角Aubry-André-Harper模型嵌入具有恒定负曲率的{8,8}双曲晶格（图1a），并引入外加电磁场（图1b），首次构建了双曲晶格中的拓扑泵浦理论框架。通过应用双曲能带理论，理论计算表明该系统的基态能带具有非平庸的拓扑不变量，其特征严格等同于八维量子霍尔效应（图1c-d）。具体而言，基态能带在八维参数空间展现出第四陈数，并在其嵌套的子空间，如二维、四维、六维分别具有第一、第二、第三陈数。当泵浦参数被绝热调制时，波包的有效质心（ECOM）演化轨迹（图1e-l）呈现出由一至四阶陈数协同调控的量子化输运行为。其初始阶段的线性输运速度（图1i-l中的斜率）与八维量子霍尔系统中由相应陈数所严格决定的量化电流预测精确吻合。这一发现表明，二维双曲晶格中的拓扑泵浦能够模拟并展现出传统欧氏系统中仅在八维及更高维度才能实现的量子霍尔物理，突破了维度对高维拓扑物理探索的限制。

图1 双曲拓扑泵送中的高维量子霍尔物理现象。

区别于欧氏晶格具有唯一确定的PBC，双曲晶格由于其Fuchsian平移群（-1-1-1-1）的非阿贝尔特性以及由此产生的残余平移群存在多种同构但不等价的表示，使得双曲格子允许存在多种不同的PBC构型。为克服高维动量空间与二维实空间维度失配的挑战，研究团队在有限系统中构造了双曲阿贝尔簇——通过特定的PBC来确定原胞空间坐标并构建Wannier函数。 基于此，团队通过设计两类不同的PBC应用于包含31个原胞的{8,8}双曲阿贝尔簇，发现了依赖于PBC构型的波包输运现象：在第一种PBC下（图2a-d），波包在经历完整的泵浦周期后从一个原胞量子化地输运至相邻原胞；而在第二种PBC下（图2e-h），波包则围绕其初始位置呈现周期性“拓扑振荡”，即经历完整泵浦周期后精确返回初始原胞。这种泵浦输运现象是欧氏系统中无法实现的。其物理根源在于PBC的选择直接决定了原胞间平移操作生成元（）的矩阵表示，进而影响了波包演化算符-1-1在真实空间中的输运效果。例如，对于第二类PBC，该算符恒等于单位矩阵，导致波包位置周期复现。这一发现深刻揭示了双曲几何中动量空间拓扑与真实空间波包输运之间存在着一种独特且由PBC决定的耦合关系，展现了非欧几何为拓扑现象开辟的全新物理维度。

图2  双曲阿贝尔簇中与周期边界条件相关的拓扑泵浦效应。

为验证理论预测，研究团队设计并制备了基于时间调制双曲晶格的电路网络（图3a-b），将{8,8}双曲阿贝尔簇映射为具有8个原胞、512节点的电路网络。利用时变非互易电阻单元实现时变耦合。其电路动力学方程与双曲拓扑泵浦的含时薛定谔方程严格等价，使电压演化可用于表征波包动力学。实验测得电压波包的ECOM演化（图3c-e）：其沿x,y,z方向的轨迹与六维量子霍尔理论预测定量吻合。受限于电路规模（每原胞64节点），基态能带色散导致实验偏差随演化增大——这与理论中能带平坦度对ECOM量子化影响作用机理一致。

图3 实验观测双曲拓扑泵浦中的 6D 量子霍尔效应。

进一步通过计算并对比不同PBC下的格点电压演化，分别观测到跨越原胞的泵浦输运（图4a-d）和拓扑振荡现象（图4e-h）。这些结果严格验证了高维量子霍尔响应在双曲晶格的存在性，并揭示非欧几何通过PBC设计调控拓扑动力学的独特能力。

图4 实验观测周期边界条件依赖的双曲拓扑泵浦效应。

本工作首次探讨了时变双曲晶格中的拓扑泵浦效应，发现了欧几里得空间中不存在的反常拓扑泵浦现象。研究发现，二维双曲拓扑泵浦可以突破传统空间维度的约束，展现八维量子霍尔物理。拓扑泵浦输运轨迹由一至四阶陈数与周期性边界条件共同控制。另外与欧氏晶格不同，双曲晶格具有多种周期性边界条件。因此，可以通过设计周期性边界条件的连接方式，展现不同的输运轨迹。其中，双曲拓扑振荡是典型特例。最后，研究人员利用时变拓扑电路首次验证了双曲拓扑泵浦现象。该工作开创了双曲晶格中时变拓扑的探索，揭示了非欧几里得几何对拓扑物理的深刻影响。

论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2095927325007911?via%3Dihub