日前，北京理工大学物理学院张向东教授课题组和集成电路与电子学院孙厚军教授课题组合作，在非阿贝尔拓扑连续谱束缚态研究方面取得重要进展。相关工作发表在Phys. Rev. Lett. 132, 046601 (2024) 上。研究工作得到国家重点研发计划，国家自然科学基金和中国科协青年人才托举工程的资助。博士生钱龙和张蔚暄副教授为论文共同第一作者，张向东教授和张蔚暄副教授为通讯作者。

连续谱束缚态是一种与扩散本征模式解耦共存的完美局域化状态。早在1929年，冯·诺伊曼和维格纳首次在量子系统中提出连续谱束缚态的概念。随后人们发现连续谱束缚态源于波的干涉效应，并在各种经典波系统中观测到连续谱束缚态的存在。最近研究表明，将拓扑能带理论和连续谱束缚态相结合，可以构造出具有拓扑特性的连续谱束缚态。其中，拓扑边界态的本征能量可以嵌入平庸体态内而不发生任何杂化。迄今为止，所有关于拓扑连续谱束缚态的研究都局限于具有阿贝尔规范势的系统中。

1954年，杨振宁和米尔斯提出非阿贝尔规范场的概念，用以描述核子间的相互作用。之后，研究人员将人工非阿贝尔规范场引入实空间和参数空间，揭示了众多新奇的非阿贝尔拓扑效应。鉴于人工非阿贝尔规范场和拓扑连续谱束缚态各自的新奇特性，一个重要的问题是：能否将两者结合起来，探讨非阿贝尔规范场中的拓扑连续谱束缚态效应。

研究亮点之一：首次理论提出非阿贝尔拓扑连续谱束缚态

研究人员考虑具有U(2)非阿贝尔规范场的二维晶格模型，其中每个元胞包含四个子格点‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’，且每个子格点具有一对内部赝自旋|↑>a,b,c,d和|↓>a,b,c,d，如图1a所示。元胞内和元胞间的耦合是通过具有不同耦合系数t1和t2的泡利矩阵σz，σy来实现。泡利矩阵[σz,σy]≠0的不对易性保证了非阿贝尔规范场的存在。图1b展示了非阿贝尔布洛赫能带的计算结果，五条能带由两个正交子空间构成。蓝色和绿色能带分别由一对耦合赝自旋|->d,|+>c,|->b,|+>a和|+>d,|->c,|+>b,|->a形成,其中|±>a,b,c,d="1/√2(|↑>a,b,c,d±|↓>a,b,c,d)是变换后的赝自旋基矢。右侧插图表示两种子空间单独对应的有效晶格模型，其分别可以映射到不同的高阶拓扑晶格模型上。需要强调的是非阿贝尔规范场破坏了系统的U(2)对称性，使得两个赝自旋在任何幺正变换下都无法分离，始终耦合在一起。这一特性是阿贝尔规范场所不具备的，即阿贝尔规范场所引起的内部赝自旋是可以通过幺正变换进行重组并分离的。因此，图1b的每个正交子空间都包含一对耦合的赝自旋，使非阿贝尔规范场诱导的高阶拓扑效应源于内部赝自旋的相互作用。为了探索非阿贝尔拓扑连续谱束缚态的存在，研究员计算了开边界条件下系统的本征能谱，如图1c所示。图1d和1e分别展示两种子空间的能谱，右下角插图呈现了零能局域态的空间分布。结果表明在这两个子空间中，都存在着高阶拓扑角态，同时高阶拓扑角态的本征能量嵌入到平庸体态中，形成非阿贝尔拓扑连续谱束缚态。为了进一步验证非阿贝尔拓扑连续谱束缚态的鲁棒性，研究人员引入两个子空间的耦合相互作用，使得非阿贝尔拓扑模型无法被分解为两个解耦的子空间。通过计算最低能带的Zak相位和第二，三能带的电四极矩可以发现，当包内耦合小于包间耦合时高阶能带拓扑仍然存在。这一现象进一步证明非阿贝尔连续谱束缚态是由两个不可分离的赝自旋相互耦合形成的。

图1. 非阿贝拓扑连续谱束缚态理论结果

研究亮点之二：基于拓扑电路的非阿贝尔连续谱束缚态实验研究

研究人员通过设计拓扑电路来观察非阿贝尔拓扑连续谱束缚态。图2a为电路板样品的照片示意图，不同颜色的箭头表示格点之间的不同耦合矩阵。单个元胞的电路结构示意图如图2b所示。研究人员将具有内部赝自旋的单个子格点映射到黄色框中的四个电路节点，通过阻抗测量可以探究不同子空间的能谱特性，如图2c和2e所示。红色、绿色和蓝色线分别对应角点、边点和体点的阻抗响应。结果表明角点处的阻抗峰值远大于边点和体点，且该峰值频率与非阿贝尔高阶拓扑连续谱束缚态能量完美对应。实验结果与图2d和2f的电路仿真阻抗响应也具有良好的一致性。研究人员进一步测量了两个子空间中拓扑连续谱束缚态对应频率处的电路阻抗分布，如图2g和2h所示。两个子空间的电路阻抗都在四个角点呈现局域化特性。其中一个子空间的体节点也具有明显的阻抗响应，但该子空间的角点阻抗值仍与另一子空间相同，表明平庸体态和拓扑角态的解耦共存现象。实验结果清楚证明了非阿贝尔拓扑连续谱束缚态的存在。

图2. 非阿贝尔拓扑连续谱束缚态电路实验结果

研究亮点之三：位错非阿贝尔拓扑连续谱束缚态理论研究及电路实验

除了角点非阿贝尔拓扑连续谱束缚态，研究人员发现在晶格位错缺陷处也存在非阿贝尔拓扑连续谱束缚态。图3a展示非阿贝尔位错晶格模型示意图。图3b为晶格模型本征能谱。图3c和3d显示非阿贝尔本征能谱在两个子空间的分解。其中绿色和蓝色点用于标记不同子空间的体态，红点对应于一维边界态，紫点标记零维局域态。三个插图中的黑色星形和方形非别对应嵌入到零能量周围的缺陷局域本征模式，其空间分布在图3e和3f中展示。结果表明其中一个子空间中的零能量本征态，完美局域在位错位置。但在另一个子空间中的零能态则表现出明显的扩散现象，其源于位错位置对称性的破坏。可以看到，错位缺陷引起的非阿贝尔拓扑连续谱束缚态只能存在于一个子空间。

图3. 位错非阿贝尔拓扑连续谱束缚态理论结果

进一步，研究人员在电路系统中也观测到错位局域的非阿贝尔拓扑连续谱束缚态，如图4所示。

图4. 位错非阿贝尔拓扑连续谱束缚态电路实验结果

研究人员首次对非阿贝尔拓扑连续谱束缚态进行理论探索和实验观测。由于非阿贝尔规范场的存在，内部赝自旋彼此耦合不可分离。通过设计非阿贝尔耦合形式，可以在单个赝自旋子空间构建具有赝自旋-子格子选择特性的非阿贝尔拓扑连续谱束缚态。同时，研究人员还对位错与非阿贝尔拓扑的相互作用进行研究，并发现拓扑位错态可以嵌入非阿贝尔体态形成非阿贝尔连续谱束缚态。在实验方面，研究人员通过设计和制备拓扑电路，成功观察到非阿贝尔拓扑连续谱束缚态。该工作将拓扑连续谱束缚态推广到非阿贝尔规范场领域，为进一步探索非阿贝尔拓扑物理提供了有价值的参考。

论文链接： https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.046601